Question

已知M（2cos²x，1），N （1，2

3

sinxcosx+a） （x，a∈R，a是常数），且y=

OM

•

ON

（O是坐标原点）
（Ⅰ）求y关于x的函数关系式y=f （ x ）；
（Ⅱ）若x∈[

π

6

，

π

2

]时，f （x）的最小值为2，求a的值，并说明f （x）（x∈R）的图象可由 y=2sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出

OM

与

ON

的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算

OM

•

ON

，就可得到y关于x的函数关系式y=f （ x ）．
（Ⅱ）因为x∈[

π

6

，

π

2

]，所以

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，再根据基本正弦函数的最值，就可求出当x∈[

π

6

，

π

2

]时，f （x）的最小值，又因为f （x）的最小值为2，可得a的值．再根据函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3的解析式与y=2sin2x的
解析式之间的关系，就可判断f （x）的图象可由 y=2sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换而得到．

解答：解：（Ⅰ）∵M（2cos²x，1），N （1，2

3

sinxcosx+a），
∴

OM

与

ON

的坐标分别为（2cos²x，1）和（1，2

3

sinxcosx+a），
∴y=

OM

•

ON

=2cos² x+2

3

sinxcosx+a，
化简得f（x）=1+cos2x+

3

sin2x+a
（Ⅱ）f（x）=1+cos2x+

3

sin2x+a   化简得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1   
∵

π

6

≤x≤

π

2

，∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

当x=

π

2

时f（x）取最小值a，故a=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3      
将y=2sin2x图象的每一点的向左平移

π

12

个单位，再向上平移3个单位长度，可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3的图象．

点评：本题主要考查向量数量积的坐标运算，利用三角公式化简以及三角函数最值的计算，函数图象的变换，属于常规题．