Question

设Q是直线y=-1上的一个动点，O为坐标原点，过Q作x轴的垂线l，过O作直线OQ的垂线交直线l于P．
（1）求点P的轨迹C的方程．
（2）过点A（-2，4）作圆B：x²+（y-2）²=1的两条切线交曲线C于M、N两点，试判断直线MN与圆B的位置关系．

Answer 1

解：（1）设P（x，y），
则Q（x，-1），
由OP⊥OQ，得，
由此能得到P点的轨迹C的方程为x²=y．
（2）：设过点A（-2，4）的直线为y=k（x+2）+4，
把直线方程y=k（x+2）+4代入抛物线方程y=x²．
得x²-kx-2k-4=0，
可得另一个根为x'=k+2，
由相切知3k²+8k+3=0．
设k₁，k₂是方程的两个根，
由根与系数的关系能导出直线MN的方程为4x-3y+1=0，
由此知直线MN与圆B相切．
分析：（1）设P（x，y），则Q（x，-1），由OP⊥OQ得，由此能得到P点的轨迹C的方程．
（2）设过点A（-2，4）的直线为y=k（x+2）+4，把直线方程y=k（x+2）+4代入抛物线方程y=x²得x²-kx-2k-4=0
可得另一个根为x'=k+2，由相切知3k²+8k+3=0．由根与系数的关系能导出直线MN的方程为4x-3y+1=0，由此知直线MN与圆B相切．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要注意公式的合理运用．