Question

【题目】已知函数f（x）=ex（x2﹣2x+2﹣a2）（a＞0），g（x）=x2+6x+c（c∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣4x﹣2，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=1时，对x1∈[﹣2，2]，x2∈[﹣2，2]，使f（x1）＜g（x2）成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex（x2﹣a2）=ex（x﹣a）（x+a），

由于曲线y=f（x）在点（0，f（0）出的切线为y=﹣4x﹣2，

∴ ，

解得：a=2，

（2）解：令f′（x）=0，ex（x﹣a）（x+a）=0，

解得：x1=a，x2=﹣a，

由f′（x）＞0得：x＜﹣a或x＞a，由f′（x）＜0，﹣a＜x＜a，

∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣a），（a，+∞），单调减区间为（﹣a，a）；

（3）解：对x1∈[﹣2，2]，x2∈[﹣2，2]，使f（x1）＜g（x2）成立，

等价于f（x）在[﹣2，2]，上的最大值小于g（x）在[﹣2，2]上的最大值，

当a=1时f（x）=ex（x2﹣2x+1），由（Ⅱ）可得f（x）与f（x）在[﹣2，2]，情况下：

x	﹣2	（﹣2，1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	﹣	0	+
f（x）	9e﹣2	增	4e﹣1	减	0	增	e2

由上表可知：f（x）在[﹣2，2上的最大值诶f（2）=e2，

∵g′（x）=2x+f6＞0，在[﹣2，2]上恒成立，

∴g（x）=x2+6x+c在[﹣2，2]上单调递增，

∴最大值为g（2）=c+16，

f（2）＜g（2），即e2＜c+16，得c＞e2﹣16，

故实数c的取值范围（e2﹣16，∞）

【解析】（1）求函数的导数，利用函数f（x）在x=0处的切线方程为y=﹣4x﹣2，建立方程关系即可求a的值；（2）求函数的导数，令f′（x）=0，求得方程的两个解，f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间；（3）当a=1，求得导函数解析式，将原条件转化成f（x）在[﹣2，2]，上的最大值小于g（x）在[﹣2，2]上的最大值，利用函数单调性求得f（x）和g（x）的最大值，即可求得c的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．