Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的三边．
（1）若a=b，sinB=sin（A+60°），求角A；
（2）若BC=2

3

，A=

π

3

，设B=x，△ABC的面积为y，求函数y=f（x）的关系式及其最值，并确定此时x的值．

Answer 1

分析：（1）由a=b，根据正弦定理得到sinA等于sinB，又sinB=sin（A+60°），得到sinA=sin（A+60°），利用两角和的正弦函数公式把等式的右边化简后，移项合并，继续利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数等于0，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）根据正弦定理，由BC=2

3

，A=

π

3

，设B=x，即可表示出AC的长度，同理表示出AB的长度，然后根据三角形的面积公式表示出y与x的关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围，得到x的范围，根据x的范围，由正弦函数的图象和性质得出f（x）的最大值，进而得到f（x）无最小值．

解答：解：（1）由a=b得：
sinA=sinB=sin(A+60°)=

1

2

sinA+

3

2

cosA，
即

1

2

sinA-

3

2

cosA=sin（A-60°）=0，又0＜A＜π，
∴A=60°；
（2）∵

AC

sinx

=

BC

sinA

，
∴AC=

BC

sin π 3

•sinx=

2 3

3 2

•sinx=4sinx．
同理：AB=

BC

sinA

•sinC=4sin(

2π

3

-x)．
∴y=

1

2

•4sinx•4sin(

2π

3

-x)sinA=4

3

sinxsin(

2π

3

-x)=6sinxcosx+2

3

sin2x=3sin2x-

3

cos2x+

3

=2

3

sin(2x-

π

6

)+

3

，
∵A=

π

3

，∴0＜x＜

2π

3

，
∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

，
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）有最大值3

3

．
因此，当x=

π

3

时，函数f（x）取得最大值3

3

．无最小值

点评：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道中档题．