Question

底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PA⊥平面ABCD，点E在PD上，且=2.

(Ⅰ)求二面角E-AC-D的大小;；

(Ⅱ)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC,若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由.

Answer 1

答案：解法一：(Ⅰ)作EM⊥AD于M,∵PA⊥面ABCD.

∴面PAD⊥面ABCD

作MN⊥AC于N,连接NE,则NE⊥AC,

∴∠ENM为二面角E-AC-D的平面角, 

∵EM=PA=a,AM=a,∴MN=AM·sin60°=a·=a.∴tanENM=.

∴二面角E-AC-D的大小为30°. 

(Ⅱ)取PC中点F,PE中点Q,连接FQ、BF、BQ,

设AC∩BD=O,连OE,则OE∥BQ,OF∥CE,∴平面BQF∥平面ACE, 

∴在棱PC上存在中点F,使BF∥平面AEC. 

解法二：(Ⅰ)建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(a,-a,0),D(0,a,0),

C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a),

∴=(0,a；a),=(a,a,0),

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)则,可得n=(,-,1),

而平面ACD的法向量为n₁==(0,0,a), 

∴cos〈n·n₁〉=,∴二面角E-AC-D的大小为30°.  

(Ⅱ)由(Ⅰ)=(a,a,-a),设F为PC上一点,且=(λa,λa,-λa),

又=(-a,a,a),∴=+=(a(λ-1),(1+λ)a,a(1-λ))

令=λ₁+λ₂,∴=λ₁(a,a,0)+λ₂(0,a,a),

则  解得

∴当λ=时,=-+,

即与,共面,此时F为BC中点,又BF平面ACE,∴BF∥平面ACE.

解法三：(Ⅱ)取PC中点F,由

===.

∴BF与AE共面,又BF面ACE.∴BF∥平面ACE.