Question

（1）求y=

x2+2

2x4+5x2+10

的最大值；
（2）若a＞0，b＞0，且a²+

b2

2

=1，求a

1+b2

的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）变形为：y=

t

2t2-3t+8

=

1

2t+ 8 t -3

，t∈[2，+∞），运用不等式求解．（2）变形为a²+

b2

2

+

1

2

=

3

2

，运用不等式求解即可．

解答： 解：（1）y=

x2+2

2x4+5x2+10

，
设t=x²+2，x²=t-2，
∴函数变为：y=

t

2t2-3t+8

=

1

2t+ 8 t -3

，t∈[2，+∞），
m=2t+

8

t

-3，t∈[2，+∞），
根据单调性可判断；2t+

8

t

-3≥5，
∴0＜

1

2t+ 8 t -3

≤

1

5

，
∴y=

x2+2

2x4+5x2+10

的最大值为

1

5

；
（2）∵a＞0，b＞0，且a²+

b2

2

=1，
∴a²+

b2

2

+

1

2

=

3

2

，
∴

3

2

≥2

a2( b2+1 2 )

，
a

1+b2

≤

3 2

4

，
故a

1+b2

的最大值为

3 2

4

．

点评：本题考查了运用基本不等式求解函数的最值，属于中档题，注意恒等变形．