Question

如图，已知三棱锥A-BCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且∠BAC=30°，M，N分别在棱AC和AD上．
（1）将侧面沿AB展开在同一个平面上，如图②所示，求证：∠BAB′=90°．
（2）求BM+MN+NB的最小值．
（3）当BM+MN+NB取得最小值时，证明：CD∥平面BMN

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得 AB=AC=AD，BC=CD=DB，可得△ABC≌△ACD≌△ABD，可得∠BAC=∠CAD=∠DAB=30°，从而有∠BAB¹=90°．
（2）由（1）可知，将侧面沿AB展开在同一个平面上连接BB′交AC，AD于点M，N 得BM+MN+NB′取最小值，最小值为：2BB′=AB．
（3）当BM+MN+NB′取得最小值时，B、M、N、B′四点共线，由∠AMN=∠ABM+∠BAC=45°+30°=75°，∠ACD===75°，可得∠AMN=
∠ACD，可得 MN∥CD，再由直线和平面平行的判定定理证得 CD∥平面BMN．
解答：解：（1）证明：由题意可得 AB=AC=AD，BC=CD=DB，∴△ABC≌△ACD≌△ABD，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAB=30°，∠BAB^′=90°．
（2）由（1）可知，将侧面沿AB展开在同一个平面上，连接BB′（9分）
交AC，AD于点M，N 得BM+MN+NB′取最小值，最小值为：2BB′=AB=．（12分）
（3）当BM+MN+NB′取得最小值时，B、M、N、B′四点共线，
∠AMN=∠ABM+∠BAC=45°+30°=75°．
在等腰三角形ACD中，由于∠CAD=30°∴∠ACD===75°，
故∠AMN=∠ACD，根据同位角相等，两直线平行可得  MN∥CD．
而MN?平面BMN，CD不在平面BMN 内，∴CD∥平面BMN．
点评：本题考查证明直线和平面平行的判定方法，棱锥的结构特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．