Question

已知向量

m

=（sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，cosωx），其中ω＞0，函数f（x）=2

m

•

n

-1的最小正周期为π．
（Ⅰ） 求ω的值；
（Ⅱ） 求函数f（x）在[

π

6

，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）原式可化简为f（x）=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin(2ωx+

π

4

)． 从而由周期公式可求ω的值；
（Ⅱ）先确定2x+

π

4

的取值范围，又函数y=sinx在[

7π

12

，

3π

4

]上是减函数，故可求函数f（x）在[

π

6

，

π

4

]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2m•n-1=2sinωx•cosωx+2cos²ωx-1
=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin(2ωx+

π

4

)．  
由题意知：T=π，即

2π

2ω

=π，
解得ω=1．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
∵

π

6

≤x≤

π

4

，得

7π

12

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
又函数y=sinx在[

7π

12

，

3π

4

]上是减函数，
∴f(x)max=

2

sin

7π

12

=

2

sin(

π

4

+

π

3

)
=

2

sin

π

4

cos

π

3

+

2

cos

π

4

sin

π

3

=

3 +1

2

．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，三角函数的图象和性质，属于中档题．