Question

3．设函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+1}$，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）+$\frac{1}{2}$]的值域是（　　）

• A． {0，-1}
• B． {0，1}
• C． {-1，1}
• D． {-1，0，1}

Answer 1

分析 对函数f（x）进行化简，分离，根据[x]表示不超过x的最大整数，讨论即可得值域．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+1}$=$1-\frac{1}{{4}^{x}+1}$，
当x＞0时，2＜4^x+1，$\frac{1}{2}$＜f（x）＜1，则函数y=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）+$\frac{1}{2}$]，此时y=1；
当x＜0时，1＜4^x+1＜2，0＜f（x）＜$\frac{1}{2}$，则函数y=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）+$\frac{1}{2}$]，此时y=0；
当=0时，4^x+1=2，f（x）=$\frac{1}{2}$，则函数y=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（x）+$\frac{1}{2}$]，此时y=1．
f（x）的值域是{0，1}．
故选B

点评 本题考查函数的值域，函数的单调性及其特点，考查学生分类讨论的思想，是中档题