Question

已知圆A的圆心为（

2

，0），半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，且与圆A相切，双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为

2

，试求k的值及此时点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）设双曲线的渐近线为y=kx，则可求得圆心到直线的距离求得k，进而求得点A的关于直线y=x的对称点，求得双曲线的a和b，双曲线方程可得．
（2）依题意设B点在与l平行的直线l'上，且l与l'间的距离为

2

，设直线l'：y=kx+m，则可表示出B点到直线l的距离求得m与k的关系式，把l'代入双曲线方程，根据判别式等于0求得m和k的另一个关系式，联立求得m和k，进而求得B点的坐标．

解答：解：（1）设双曲线的渐近线为y=kx，则

| 2 k|

k2+1

=1，解得k=±1．即渐近线为y=±x．
又点A关于y=x的对称点A'的坐标为（0，

2

），
所以，a=b=

2

，双曲线的方程为

y2

2

-

x2

2

=1．
（2）直线l：y=k（x-

2

），（0＜k＜1）．
依题意设B点在与l平行的直线l'上，且l与l'间的距离为

2

，设直线l'：y=kx+m，则

| 2 k+m|

k2+1

=

2

，即m²+2

2

km=2①
把l'代入双曲线方程得：（k²-1）x²+2mkx+m²-2=0
∵0＜k＜1，∴k²-1≠0．∴△=4（m²+2k²-2）=0，即m²+2k²=2②
解①②，得m=

10

5

，k=

2 5

5

．
此时，x=2

2

，y=

10

，所以B（2

2

，

10

）．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．圆锥曲线与直线的关系历来是高考的热点，应加强复习．