Question

12．已知函数y=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{3x-1}-1}$．
（1）求它的定义域和单调区间；
（2）若x∈[-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$]时，求它的值域．

Answer 1

分析 （1）根据使函数解析式有意义的原则，构造关于自变量x的不等式，解得函数的定义域，结合复合函数的单调性“同增异减”的原则，可得函数的单调区间；
（2）结合（1）中函数的单调性，求出给定区间上函数的最值，可得函数的值域．

解答 解：（1）由${（\frac{1}{2}）}^{3x-1}$-1≥0得：${（\frac{1}{2}）}^{3x-1}$≥1，
则3x-1≤0，解得：x∈（-∞，$\frac{1}{3}$]，
故函数=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{3x-1}-1}$的定义域为（-∞，$\frac{1}{3}$]，
由t=3x-1为增函数，u=${（\frac{1}{2}）}^{t}$为减函数，故u=${（\frac{1}{2}）}^{3x-1}$为减函数，
由v=u-1为增函数，y=$\sqrt{v}$为增函数，
故函数y=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{3x-1}-1}$在定义域（-∞，$\frac{1}{3}$]上为减函数，
即函数y=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{3x-1}-1}$的单调递减区间为（-∞，$\frac{1}{3}$]，
（2）当x∈[-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$]，由（1）得函数为减函数，
则当x=-$\frac{2}{3}$时，函数取最大值$\sqrt{7}$，当x=-$\frac{1}{3}$时，函数取最小值$\sqrt{3}$，
故函数y=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{3x-1}-1}$，x∈[-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$]的值域为[$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$]

点评 本题考查复合函数的单调性：同增异减，考查二次函数和指数函数的单调性的运用，属于基础题和易错题．