Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），f（a_n）和g（a_n）满足：a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）是否存在常数C，使得数列{a_n+C}为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）设b_n=3f（a_n）-[g（a_n+1）]²，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）由题意知：4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0
∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0 …（2分）
∵a₁=2，∴a_n-1≠0，即4a_n+1=3a_n+1 …（4分）
假设存在常数C，使{a_n+C}为等比数列，
则：为常数
∴c=-1，故存在常数c=-1，使{a_n-1}为等比数列…（6分）
（2）∵a₁=2，∴，
∴…（8分）
从而…（10分）
∴…（12分）
分析：（1）先根据 已知条件（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0整理得到（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0；再结合a₁=2，得到4a_n+1=3a_n+1；最后通过假设存在常数C，使{a_n+C}为等比数列，得到相邻两项的比值为常数求出常数c=-1；
（2）先根据第一问的 结果求出数列{a_n}的通项，再代入求出数列{b_n}的通项公式，最后根据等比数列的求和公式 即可得到结论．
点评：本题主要考查等比数列的求和公式的应用．再应用等比数列的求和公式时，一定要先判断公比是否等于1，避免出错．