Question

9．已知圆C：x²+y²-2x+my=0，其圆心C在直线y=x上．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若过点（-1，1）的直线l与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆的标准方程，求出圆心坐标，代入直线方程，即可求m的值；
（Ⅱ）p判断直线l的斜率存在，设出直线l的方程．利用直线l和圆C相切，求出k，即可求直线l的方程．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）圆C的标准方程为：${（x-1）^2}+{（y+\frac{m}{2}）^2}=1+\frac{m^2}{4}$，
所以，圆心为$（1，-\frac{m}{2}）$
由圆心C在直线y=x上，得 m=-2．…（5分）
所以，圆C的方程为：（x-1）²+（y-1）²=2．
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y-1=k（x+1），即kx-y+k+1=0，
由于直线l和圆C相切，得$\sqrt{2}=\frac{{|{2k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$…（8分）
解得：k=±1
所以，直线方程为：x-y+2=0或x+y=0．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆的切线方程的求法，考查计算能力．