Question

【题目】如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = ．
（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；
（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，

， ， 方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．

则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），

设P（0，0，p），则 =（﹣1，1，p），又AP=2，

∴1+1+p2=4，∴p= ，

∵ = = =（ ），

=（ ），

∴ =（﹣1，1，﹣ ）， =（0， ，﹣ ），

设异面直线MN与PC所成角为θ，

则cosθ= = = ．

θ=30°，

∴异面直线MN与PC所成角为30°

（2）解： =（﹣1，1，﹣ ）， =（1，1，﹣ ）， =（ ，﹣ ），

设平面PBC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得 =（0， ，1），

设平面PNC的法向量 =（a，b，c），

则 ，取c=1，得 =（ ，2 ，1），

设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为 ．

【解析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点， ， ， 方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题．