Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m．
（Ⅰ）若y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p）．

Answer 1

分析：（1）y=f（x）在[-1，1]上单调递减函数，要存在零点只需f（1）≤0，f（-1）≥0即可
（2）存在性问题，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集即可
（3）研究函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域，需要对t进行讨论，研究单调性

解答：解：（Ⅰ）：因为函数f（x）=x²-4x+a+3的对称轴是x=2，
所以f（x）在区间[-1，1]上是减函数，
因为函数在区间[-1，1]上存在零点，
则必有：

f(1)≤0 f(-1)≥0

即

a≤0 a+8≥0

，解得-8≤a≤0，
故所求实数a的取值范围为[-8，0]．
（Ⅱ）若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，
使f（x₁）=g（x₂）成立，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集．
f（x）=x²-4x+3，x∈[1，4]的值域为[-1，3]，下求g（x）=mx+5-2m的值域．
①当m=0时，g（x）=5-2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g（x）的值域为[5-m，5+2m]，要使[-1，3]⊆[5-m，5+2m]，
需

5-m≤-1 5+2m≥3

，解得m≥6；
③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5-m]，要使[-1，3]⊆[5+2m，5-m]，
需

5+2m≤-1 5-m≥3

，解得m≤-3；
综上，m的取值范围为（-∞，-3]∪[6，+∞）
（Ⅲ）由题意知

t＜4 7-2t＞0

，可得t＜

7

2

．
①当t≤0时，在区间[t，4]上，f（t）最大，f（2）最小，
所以f（t）-f（2）=7-2t即t²-2t-3=0，解得t=-1或t=3（舍去）；
②当0＜t≤2时，在区间[t，4]上，f（4）最大，f（2）最小，
所以f（4）-f（2）=7-2t即4=7-2t，解得t=

3

2

；
③当2＜t＜

7

2

时，在区间[t，4]上，f（4）最大，f（t）最小，
所以f（4）-f（t）=7-2t即t²-6t+7=0，解得t=3±

2

（舍去）
综上所述，存在常数t满足题意，t=-1或

3

2

．

点评：本题综合考查了函数的零点，值域与恒成立问题．