已知椭圆
：
的左焦点为
，右焦点为
．
（Ⅰ）设直线
过点且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于点P，线段
的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹
的方程；
（Ⅱ）设
为坐标原点，取曲线上不同于的点
，以
为直径作圆与相交另外一点
，求该圆的面积最小时点的坐标．
（Ⅰ）
（Ⅱ）
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 利用抛物线的定义“到定点的距离等于到定直线的距离”来求；(Ⅱ) 直线与抛物线相交，联立消元，设点代入化简，利用基本不等式求最值.
试题解析：（I）
在线段
的垂直平分线上，∴| MP | = | M
|
故动点M到定直线
的距离等于它到定点
的距离
因此动点M的轨迹
是以
为准线，为焦点的抛物线，
所以点M的轨迹的方程为
(II)因为以OS为直径的圆与相交于点R，
所以
，即
设
，
，则
，
，
，
所以
，即
∵
，
，∴
故
，当且仅当
，即
时等号成立
当
时，
，圆的直径
，
这时点S的坐标为．
考点：抛物线的定义，向量的坐标运算，基本不等式，坐标表示等，考查了学生的综合化简计算能力.
名师伴你成长课时同步学练测系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
如图,已知椭圆
+
=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点.
(1)若点G的横坐标为-
,求直线AB的斜率.
(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
如图,已知椭圆
+
=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点.
(1)若点G的横坐标为-
,求直线AB的斜率.
(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.
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科目：高中数学 来源：2010-2011学年北京市昌平区高三考模拟考试数学试卷（文科） 题型：解答题
已知椭圆C:
的左焦点为
（-1，0），离心率为
，过点的直线
与椭圆C交于
两点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（II）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、 B两点，线段AB的垂直平分线与
轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
已知椭圆C:
的左焦点为
（-1，0），离心率为
，过点的直线
与椭圆C交于
两点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（II）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、 B两点，线段AB的垂直平分线与
轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
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