Question

已知f（x）=x³+3ax²+3bx（a，b∈R）有两个极值点x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，则f（x₂）的最大值与最小值之和为

-

21

2

．

Answer 1

分析：根据极值的意义可知，极值点x₁、x₂是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可，先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x₂）的值域，再利用参数c的范围求出f（x₂）的范围即可．

解答：解：f′（x）=3x²+6bx+3c，
依题意知，方程f′（x）=0有两个根x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，
等价于f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．
由此得b，c满足的约束条件为

c≥2b-1 c≤0 c≤-2b-1 c≥-4b-4

，
满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．
由题设知f'（x₂）=3x₂²+6bx₂+3c=0，
则bx₂=-

1

2

x22-

1

2

c，
故f（x₂）=x23+3bx22+3cx2=-

1

2

x23+

3

2

cx2，
由于x₂∈[1，2]，而c≤0，则f（x₂）在[1，2]上递减，
故-4+3c≤f（x₂）≤-

1

2

+

3

2

c．
又-2≤c≤0，
所以-10≤f（x₂）≤-

1

2

，
f（x₂）的最大值与最小值之和为-

21

2

，
故答案为：-

21

2

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明．