Question

17．某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为$f（x）=|{\frac{4}{3}sin（\frac{π}{36}x）-a}|+{a^{\frac{1}{2}}}$，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且$a∈[0，\frac{3}{4}]$，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，记作M（a）
（1）令$t=\frac{4}{3}sin（\frac{π}{36}x）$，x∈[0，24]，试求t的取值范围
（2）试求函数M（a）
（3）市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前该市的污染指数是否超标．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的性质，可求t的取值范围；
（2）分类讨论求最值，即可求函数M（a）的解析式；
（3）由（Ⅱ）知M（a）的最大值，它小于2，即可得出结论．

解答 解：（1）由0≤x≤24得  $0≤\frac{π}{36}x≤\frac{2π}{3}$
当$\frac{π}{36}x=0$即x=0时t_min=0当$\frac{π}{36}x=\frac{π}{2}$即x=18时${t_{max}}=\frac{4}{3}$
所以t的取值范围是$[0，\frac{4}{3}]$…（3分）
（2）令$g（t）=|{t-a}|+\sqrt{a}$，$t∈[0，\frac{4}{3}]$
当$a＜\frac{2}{3}$时，即$0≤a＜\frac{2}{3}$时，$g{（t）_{max}}=g（\frac{4}{3}）=|{\frac{4}{3}-a}|+\sqrt{a}=\frac{4}{3}-a+\sqrt{a}$
当$a≥\frac{2}{3}$时，即$\frac{2}{3}≤a≤\frac{3}{4}$时，$g{（t）_{max}}=g（0）=|{0-a}|+\sqrt{a}=a+\sqrt{a}$
所以$M（a）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}-a+\sqrt{a}}\\{a+\sqrt{a}}\end{array}}\right.$$\begin{array}{l}{0≤a＜\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}≤a≤\frac{3}{4}}\end{array}$…（7分）
（3）当$a∈[\frac{2}{3}，\frac{3}{4}]$时，易知M（a）单调递增，所以$M（a）≤M（\frac{3}{4}）=\frac{{3+2\sqrt{3}}}{4}＜2$
当$a∈[0，\frac{2}{3}）$时，${M^'}（a）=-1+\frac{1}{{2\sqrt{a}}}$由M′（a）=0得$a=\frac{1}{4}$
当$a∈[0，\frac{1}{4}）$时，M′（a）＞0，M（a）单调递增
当$a∈（\frac{1}{4}，\frac{2}{3}）$时，M′（a）＜0M（a）单调递减
所以函数$M{（a）_{max}}=M（\frac{1}{4}）=\frac{4}{3}-\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{19}{12}＜2$，所以没有超标
答：目前该市的污染指数没有超标．…（12分）

点评 本题考查三角函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．