下列命题正确的是 ①命题“?x0∈R.x02+1＞3x0 的否定是“?x∈R.x2+1≤3x,②函数 f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为“π 是“a=1 的必要不充分条件,③x2+2x≥ax 在x∈[1.2]上恒成立?(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1.2]上恒成立,④ 平面向量a与b的夹角是钝角“的充分必要条件是“a•b� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

下列命题正确的是

（写序号）
①命题“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x；
②函数 f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为“π”是“a=1”的必要不充分条件；
③x²+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?（x²+2x）_min≥（ax）_max在x∈[1，2]上恒成立；
④”平面向量

与

的夹角是钝角“的充分必要条件是“

•

＜0”

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①利用特称命题的否定是全称命题，写出命题“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定，可判断①；
②利用二倍角的余弦公式及余弦函数的周期公式，结合充分必要条件的概念可判断②；
③利用等价转化思想与恒成立问题，可知x²+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?a≤(

x2+2x

)min（x∈[1，2]），从而可判断③；
④利用向量的数量积的坐标运算及充分必要条件的概念可判断④．

解答： 解：对于①，命题“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x，故①正确；
对于②，∵函数f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax的最小正周期为T=

2π

2|a|

=π，
∴|a|=1，解得a=±1，即f（x）的最小正周期为“π”不能⇒“a=1”，充分性不成立；
反之，若a=1，则函数f（x）的最小正周期为π，必要性成立，
∴函数 f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为“π是“a=1”的必要不充分条件，故②正确；
对于③，x²+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?a≤(

x2+2x

)min（x∈[1，2]），或者是当x∈[1，2]时，函数y=x²+2x的图象恒不在y=ax的图象的下方，而不是（x²+2x）_min≥（ax）_max在x∈[1，2]上恒成立，故③错误；
全称命题的否定是特称命题，写出命题：“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定，可判断③；
对于④，若平面向量

与

的夹角是钝角，则

•

＜0，必要性成立；
反之，若

•

＜0，则平面向量

与

的夹角是钝角或π，即充分性不成立，故④错误．
综上所述，正确的命题为：①②．
故答案为：①②．

点评：本题考查考查正弦定理、二倍角的余弦公式及余弦函数的周期公式等基本知识，考查充分必要条件的概念及全称命题与特称命题之间的关系，考查等价转化思想，属于中档题．

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