Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上下焦点分别为F₁，F₁，短轴两个端点为P，P₁，且四边形F₁PF₂P₁是边长为2的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）设△ABC，AC=2

3

，B为椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）在x轴上方的顶点，当AC在直线y=-1上运动时，求△ABC外接圆的圆心Q的轨迹E的方程；
（3）过点F（0，

3

2

）作互相垂直的直线l₁l₂，分别交轨迹E于M，N和R，Q．求四边形MRNQ的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）如图所示，由于四边形F₁PF₂P₁是边长为2的正方形，可得a=2，b=c，再利用a²=b²+c²=2b²，解得b²即可；
（2）由（1）可知B（0，2）．设A(m-

3

，-1)，C(m+

3

，-1)，分别求出AC与AB的垂直平分线方程，联立即可得出；
（3）直线l₁，l₂的斜率存在且不为0，直线l₁的方程为y=kx+

3

2

，直线l₂的方程为y=-

1

k

x+

3

2

．分别与抛物线的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式和基本不等式即可得出．

解答：解：（1）如图所示，∵四边形F₁PF₂P₁是边长为2的正方形，∴a=2，b=c，∴4=a²=b²+c²=2b²，解得b²=2．
∴椭圆的方程为

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）由（1）可知B（0，2）．
设A(m-

3

，-1)，C(m+

3

，-1)，则AC的垂直平分线x=m．线段AB的中点为(

m- 3

2

，

1

2

)，kAB=

3

3 -m

，其垂直平分线的斜率为-

3 -m

3

，故AB的垂直平分线的方程为y=

m- 3

3

(x-

m- 3

2

)+

1

2

，与x=m联立解得x²=6y．
（3）①直线l₁，l₂的斜率一个为0而另一个不存在时，不符合题意．
②直线l₁，l₂的斜率存在且不为0，直线l₁的方程为y=kx+

3

2

，直线l₂的方程为y=-

1

k

x+

3

2

．
联立

y=kx+ 3 2 x2=6y

，化为y2-(3+6k2)y+

9

4

=0，∴y1+y2=3+6k2．
∵直线l₁过抛物线的焦点F(0，

3

2

)，
∴|MN|=y₁+y₂+p=3+6k²+3=6（1+k²）．同理|PQ|=6(1+

1

k2

)．
∴S=

1

2

|MN| |PQ|=18(k2+

1

k2

+2)≥18(2

k2• 1 k2

+2)=72，当且仅当k=±1时等号成立．
故当k=±1时，此时四边形MRNQ的面积取得最小值72．

点评：本题综合考查了椭圆及抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．