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已知函数f(x)=
3
sin(ωx+?)-cos(ωx+?)(0<?<π,ω>0)

(Ⅰ)若函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
π
2
,且它的图象过(0,1)点,求函数y=f(x)的表达式;
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的函数y=f(x)的图象向右平移
π
6
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)若f(x)的图象在x∈(a,a+
1
100
) (a∈R)
上至少出现一个最高点或最低点,则正整数ω的最小值为多少?
分析:(Ⅰ)利用两角差的正弦函数化简函数的表达式,通过函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
π
2
,求出函数的周期,得到ω,且它的图象过(0,1)点,求出?,即可求函数y=f(x)的表达式;
(Ⅱ)利用将(Ⅰ)中的函数y=f(x)的图象向右平移
π
6
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求出函数的解析式,利用正弦函数的单调性,求函数y=g(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)f(x)的图象在x∈(a,a+
1
100
) (a∈R)
上至少出现一个最高点或
最低点,则
π
ω
1
100
,即可求出ω的最小值.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
3
sin(ωx+?)-cos(ωx+?)

=2[
3
2
sin(ωx+?)-
1
2
cos(ωx+?)]

=2sin(ωx+?-
π
6
)
(3分)
由题意得
ω
=2×
π
2
,所以ω=2所以f(x)=2sin(2x+?-
π
6
)

又因为y=f(x)的图象过点(0,1),
sin(?-
π
6
)=
1
2

又∵0<φ<π
?=
π
3

f(x)=2sin(2x+
π
6
)
(6分)
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移
π
6
个单位后,得到y=2sin(2x-
π
6
)
的图象,
再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到y=2sin(
1
2
x-
π
6
)
的图象.
g(x)═2sin(
1
2
x-
π
6
)
(9分)
2kπ-
π
2
1
2
x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,则4kπ-
3
≤x≤4kπ+
3

∴g(x)的单调递增区间为[4kπ-
3
,4kπ+
3
] (k∈Z)
.(12分)
(Ⅲ)若f(x)的图象在x∈(a,a+
1
100
) (a∈R)
上至少出现一个最高点或
最低点,则
π
ω
1
100
,即ω>100π,又ω为正整数,
∴ωmin=315.(15分)
点评:本题是中档题,考查三角函数的化简求值,函数的单调性的应用,考查函数的基本性质,求出ω的最小值的条件,是解题的关键.
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已知函数f(x)=
(3-a)x-3 (x≤7)
ax-6??? (x>7)
,数列an满足an=f(n)(n∈N*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是
 

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π
2
)cosωx(0<ω≤2)
的图象过点(
π
16
,2+
2
)

(Ⅰ)求ω的值及使f(x)取得最小值的x的集合;
(Ⅱ)该函数的图象可由函数y=
2
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1x
|,x∈(0,+∞)

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π
3
)=sinx,则f(π)
等于(  )

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