Question

设函数f（x）=lnx，有以下4个命题：
①对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

；
②对任意的x₁、x₂∈（1，+∞），有f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁；
③对任意的x₁、x₂∈（e，+∞），有x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）；
④对任意的0＜x₁＜x₂，总有x₀∈（x₁，x₂），使得f(x0)≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．其中正确的是______（填写序号）．

Answer 1

∵f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函数，
∴对于①由f(

x1+x2

2

)=ln

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=ln

x1x2

，∵

x1+x2

2

＞

x1x2

故f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

故①错误．
对于②③，不妨设x₁＜x₂则有f（x₁）＜f（x₂），
故由增函数的定义得f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁ 故②正确，
由不等式的性质得x₁f（x₁）＜x₂f（x₂），故③错误；
对于④令1=x₁＜x₂=e²，x₀=e得，f（x₀）＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，故④错误．
故答案为②．