Question

已知O，A，B是同一平面内不共线的三点，且

OM

=λ

OA

+μ

OB

，则下列命题正确的是

①②③④⑤

．（写出所有正确命题的编号）
①若λ=

1

2

，μ=

1

2

，则点M是线段AB的中点；
②若λ=-1，μ=2，则M，A，B三点共线；
③若λ=

1

| OA |

，μ=

1

| OB |

，则点M在∠AOB的平分线上；
④若λ=

1

3

，μ=

1

3

，则点M是△OAB的重心；
⑤若点M在△OAB外，则λ＜0或μ＜0或

λ＞ 1 2 μ＞ 1 2

．

Answer 1

分析：由已知可得

AB

=2

AM

，即点M是线段AB的中点，可判断①的真假；由已知可得

AM

=2

AB

，故M，A，B三点共线，可判断②的真假；根据

OA

| OA |

表示与

OA

同向的单位向量，可得M点是以

OA

同向的单位向量和又

OB

同向的单位向量为两邻边的菱形对角线顶点上，进而根据菱形的性质，可判断③的真假；由已知可得

MA

+

MB

+

MO

=

0

，可得M为三角形的重心，进而判断④的真假；根据已知分析点M在△OAB外的各种情况，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：当λ=

1

2

，μ=

1

2

时，

OM

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，此时

AB

=

OB

-

OA

，

AM

=

OM

-

OA

=-

1

2

OA

+

1

2

OB

，故

AB

=2

AM

，即点M是线段AB的中点，故①正确；
当λ=-1，μ=2时，

OM

=-

OA

+2

OB

，此时

AB

=

OB

-

OA

，

AM

=

OM

-

OA

=-2

OA

+2

OB

=2

AB

，故M，A，B三点共线，故②正确；
当λ=

1

| OA |

，μ=

1

| OB |

时，

OM

=

OA

| OA |

+

OB

| OB |

，此时M点是以

OA

同向的单位向量和又

OB

同向的单位向量为两邻边的菱形对角线顶点上，根据菱形对角线平分对角，可得点M在∠AOB的平分线上，故③正确；
当λ=

1

3

，μ=

1

3

时，

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

，此时

MA

+

MB

+

MO

=

0

，可得M为三角形的重心，故④正确；
反向延长OA，OB，分别计为OC，OD，当M点在区域AOC上时，λ＜0；当M点在区域BOD上时，μ＜0；当M点在区域COD上时，λ＜0且μ＜0；当M点在区域COD上时，λ＞0且μ＞0，若此时M点△OAB外，则

λ＞ 1 2 μ＞ 1 2

，故⑤正确
故答案为：①②③④⑤

点评：本题又命题的真假判断为载体考查了向量的性质，是向量问题的综合应用，难度稍大，属中档题．