Question

设直线l过点P（0，3），和椭圆交于A、B两点（A在B上方），试求的取值范围    ．

Answer 1

【答案】分析：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，-2），这时=．当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，设A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），则向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），所以=，因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判别式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，所以k＞3或k＜-．由此入手能够求出的范围．
解答：解：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，-2），这时=．
当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，
设A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），则向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），
所以=，
因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，
把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判别式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，
所以k＞3或k＜-，
设=λ，则x₁=λx₂，
因为x₁+x₂=-，x₁x₂=，
所以（1+λ）x₂═-，，（1）
λx₂²=，（2）
显然λ不等于1，解得0＜λ＜1．
综上所述的范围是[）．
故答案为：[）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．