Question

设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱长都等于2，M是AB的中点．
（1）求异面直线A₁M与BC₁所成的角；（2）求四棱锥M-ACC₁A₁的体积．

Answer 1

分析：（1）取A₁B₁中点N，连接BN、C₁N，则BN∥A₁M，∠NBC₁就是异面直线A₁M与BC₁所成的角，由余弦定理求出
cos∠NBC₁的值，即可得到异面直线A₁M与BC₁所成的角大小．
（2）作MP⊥AC于P，则MP⊥平面AA1C1C ， MP=

3

2

，利用棱锥的体积求得结果．

解答：（1）取A₁B₁中点N，连接BN、C₁N，则BN∥A₁M，∠NBC₁就是异面直线A₁M与BC₁所成的角．
因为BN=

5

 ， BC1=2

2

 ， NC1=

3

，
由余弦定理可得 3=5+8-4

10

 cos∠NBC₁ ，∴cos∠NBC₁=

10

4

，
所以异面直线A₁M与BC₁所成的角大小为arccos

10

4

．
（2）作MP⊥AC于P，则MP⊥平面AA1C1C ， MP=

3

2

．
故四棱锥M-ACC₁A₁的体积V=

1

3

•4•

3

2

=

2 3

3

．

点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，求棱锥的体积，找出异面直线所成的角，是解题的关键．