Question

若f（x）=1-2a-2acosx-sin²x的最小值为g（a）．
（1）求g（a）的表达式；
（2）求使g（a）=1的a的值，并求当a取此值时f（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用同角三角函数间的关系式及二次函数的配方法可得f（x）=（cosx-a）²-a²-2a，分a＜-1、-1≤a≤1及a＞1三类讨论，利用二次函数的单调性与最值即可求得g（a）的表达式；
（2）依题意，分a＜-1、-1≤a≤1及a＞1三类讨论，由g（a）=1，可求得a≤-1，从而可求得当a取此范围内的值时f（x）的最大值．

解答： 解：（1）由f（x）=1-2a-2acosx-sin²x
=1-2a-2acosx-（1-cos²x）
=cos²x-2acosx-2a
=（cosx-a）²-a²-2a．这里-1≤cosx≤1．
①若-1≤a≤1时，则当cosx=a时，f（x）_min=-a²-2a；
②若a＞1，则当cosx=1时，f（x）_min=1-4a；
③若a＜-1，则当cosx=-1时，f（x）_min=1．
因此gg（aa）=

1，a＜-1 -a2-2a，-1≤a≤1 1-4a，a＞1

；
（2）∵g（a）=1．
∴①若a＞1，则有1-4a=1，得a=0，矛盾；
②若-1≤a≤1，则有-a²-2a=1，即aa²+2a+1=0，∴a=-1．
③若a＜-1，g（a）=1，恒成立
∴g（a）=1时，a≤-1，此时f（x）=（cosx-a）²-a²-2a，
当cosx=1时，f（x）取得最大值为1-4a．

点评：本题考查同角三角函数间的关系式及二次函数的性质的综合应用，突出考察分类讨论思想与等价转化思想的应用，考查运算求解能力，属于难题．