Question

7．设f（x）=lg$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+…+9{9}^{x}+a•10{0}^{x}}{100}$，其中a是实数，如果f（x）当x∈（-∞，1]时有意义，求a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意和对数的真数大于零得：x∈（-∞，1]时，$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+…+9{9}^{x}+a•10{0}^{x}}{100}＞0$恒成立，利用分离常数法化简，再构造函数y=-[${（\frac{1}{100}）}^{x}$+${（\frac{2}{100}）}^{x}$+${（\frac{3}{100}）}^{x}+…+$${（\frac{99}{100}）}^{x}$]，利用指数函数的求出函数的值域，即可求出a的取值范围．

解答 解：由题意可得，当x∈（-∞，1]时，$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+…+9{9}^{x}+a•10{0}^{x}}{100}＞0$恒成立，
则1+2^x+3^x+…+99^x+a•100^x＞0恒成立，
所以a＞-[${（\frac{1}{100}）}^{x}$+${（\frac{2}{100}）}^{x}$+${（\frac{3}{100}）}^{x}+…+$${（\frac{99}{100}）}^{x}$]在x∈（-∞，1]上恒成立，
因为函数y=-[${（\frac{1}{100}）}^{x}$+${（\frac{2}{100}）}^{x}$+${（\frac{3}{100}）}^{x}+…+$${（\frac{99}{100}）}^{x}$]在（-∞，1]递增，
所以y≤-（$\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+…+\frac{99}{100}$）=-$\frac{1+2+3+…+99}{100}$=$-\frac{99}{2}$，
则a＞$-\frac{99}{2}$，
即a的取值范围是（$-\frac{99}{2}$，+∞）．

点评 本题考查对数、指数函数的性质，以及分离常数法、构造函数法，转化思想，属于中档题．