Question

已知等差数列{a_n}的首项是二项式(

x

-

2

x

)5展开式的常数项，公差为二项式展开式的各项系数和，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：在二项式的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得常数项，即等差数列的首项．又二项式展开式的各项系数和即为x=1时二项式的值，
由此求得公差的值，可得数列{a_n}的通项公式．

解答：解：由于二项式(

x

-

2

x

)5展开式的通项为：Tr+1=

C

r 5

(

x

)5-r•(-

2

x

)r=(-2)r

C

r 5

x3-r．
令3-r=0得r=3，∴常数项为T4=(-2)3

C

3 5

=-160，即等差数列的首项为a₁=-160．…5′
又二项式展开式的各项系数和即为x=1时二项式的值，∴d=-1．…8′
故数列{a_n}的通项公式为a_n=-160+（n-1）×（-1）=-n-159．…12′．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式各项系数和的求法，等差数列的通项公式，属于中档题．