Question

（文科）已知数列{a_n}的各项均为正数，其前项和为，且对于任意的，都有点（a_n，S_n）在直线y=2x-2上
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2log₂a_n-1，求数列{

bn

an

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由题意点（a_n，S_n）在直线y=2x-2上，可得S_n=2a_n-2，利用递推公式 an=

S1   n=1 Sn-Sn-1，  n≥2

可求a_n；
（2）由（1）可求b_n=2n-1，则数列b_n为等差数列，而数列a_n为等比数列，

bn

an

=

2n-1

2n

=(2n-1)(

1

2

)n适合用错位相减求和．

解答：解：（1）由已知S_n=2a_n-2  ①，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2 ②
①-②得S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-2a_n-1，

an

an-1

=2
又n=1时有S₁=2a₁-2，得a₁=2
∴{a_n}是首项a₁=2，公比q=2的等比数列，
故数列{a_n}的通项公式为：a_n=2ⁿ
（2）由（1）知b_n=2log₂a_n-1=2log₂2ⁿ-1=2n-1，所以

bn

an

=

2n-1

2n

=(2n-1)(

1

2

)n
数列{

bn

an

}的前n项和T_n=1×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+…+(2n-1)(

1

2

)n  ③
③式两边同乘以

1

2

得，

1

2

T_n=1×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(2n-1)(

1

2

)n+1  ④
③-④得

1

2

T_n=

1

2

+2[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]-(2n-1)(

1

2

)n+1
=

1

2

+

2× 1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-1)(

1

2

)n+1=

3

2

-(

1

2

)n-1-(2n-1)(

1

2

)n+1
=

3

2

-(

1

2

)n+1(4+2n-1)=

3

2

-(

1

2

)n+1(2n+3)
故T_n=3-（2n+3）(

1

2

)n

点评：本题考查数列的递推公式的运用、错位相减求和的运用，该求和方法已知求和的热点、难点，运用的关键是理解该方法的实质，掌握该求和的基本步骤．