Question

（2012•眉山一模）设{b_n}是等差数列，b₁+b₂+b₃=15，b₃+b₅+b₇=33，S_n是数列{b_n}前n项和，令Tn=

4Sn+7

bn

，若Tn≥a对一切的正整数n恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A．（-∞，6]
• B．(-∞，

  19

  3

  ]
• C．(-∞，

  13

  3

  ]
• D．(-∞，

  15

  3

  ]

Answer 1

分析：由等差数列的性质可得 b₂ =5，b₅=11，由此求得首项和公差，从而求得通项b_n=2n+1，从而求得S_n和T_n的解析式，进而求得Tn=

4Sn+7

bn

有最小值等于

19

3

，
由此求得a的取值范围．

解答：解：由等差数列的性质可得b₁+b₂+b₃=15=3b₂，故 b₂ =5；同理可得 b₃+b₅+b₇=33=3b₅，故 b₅=11．
设等差数列{b_n}的公差等于d，则有 3d=b₅-b₂ =6，故d=2，故 b₁=3，∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1，故S_n=n×3+

n(n-1)

2

×2=n²+2n，
∴Tn=

4Sn+7

bn

=

4(n2+2n)+7

2n+1

=（2n+1）+

4

2n+1

+2．
函数y=x+

4

x

在（2，+∞）上单调递增，由于2n+1≥3，故当2n+1=3 时，Tn=

4Sn+7

bn

有最小值等于

19

3

．
若T_n≥a对一切的正整数n恒成立，应有a≤

19

3

．
故选B．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式，等比数列的通项公式，数列与不等式综合，属于中档题．