解:(1):(1)a=1,f(x)=x
2-|x|+1=
∴f(x)的单增区间为:
(5分)
(2)当x∈[1,2]时,f(x)=ax
2-x+2a-1
若a=0,则f(x)=-x-1在区间[1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=-3.
若a≠0,则f(x)=a(x-
)2+2a-
-1,f(x)图象的对称轴是直线x=
当a<0时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=6a-3.
当0<
<1,即a>
时,f(x)在区间[1,2]上是增函数,g(a)=f(1)=3a-2.
当1<
<2,即
≤a≤
时,g(a)=f(
)=2a-
-1
当2<
,即0<a<
时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=6a-3.
综上得g(a)=
.
分析:(1)由a=1,将函数转化为分段函数,进而每一段转化为二次函数,用二次函数法求得每段的单调区间即可.
(2)受(1)的启发,用二次函数法求函数的最小值,要注意定义域,同时由于a不具体,要根据对称轴分类讨论.
点评:本题主要考查分段函数,二次函数,考查求其单调区间,函数的最值,充分考查了分类讨论的方法、二次函数的图象与性质.