Question

【题目】已知椭圆的两个焦点为，，离心率为，点，在椭圆上，在线段上，且的周长等于．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由的周长为可得，由离心率得，进而的椭圆的标准方程；（2）先根据韦达定理证明两切斜线斜率积为，进而得两切线垂直，得线段为圆的直径，，然后根据不等式及圆的几何意义求的最大值．

试题解析：（1）由的周长为，得，，由离心率，得，．所以椭圆的标准方程为：．

（2）设，则．

（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则，，另一切线的斜率为0，从而．此时，．

（ⅱ）若切线的斜率均存在，则，设过点的椭圆的切线方程为，

代入椭圆方程，消并整理得：．

依题意，．

设切线，的斜率分别为，，从而，即．

线段为圆的直径，．

所以，

当且仅当时，取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得：最大值是4．