Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：

（1）AC⊥BC1；

（2）AC1∥平面B1CD．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

试题（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；

（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1平面B1CD，利用线面平行的判定定理

即可得证．

证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，

∴CC1⊥AC，

又AC⊥BC，BC∩CC1=C，

∴AC⊥平面BCC1B1

∴AC⊥BC1．

（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，

∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，

又∵AC1平面B1CD，OD平面B1CD，

∴AC1∥平面B1CD．