Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若PA=6，AD=10，CD=15，求二面角P-CE-A的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC中点M，连ME，MF．利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质、线面平行的判定定理即可得出；
（II）延长DA，CE交于N．过A作AH⊥CN于H，连PH．利用PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CN．于是CN⊥平面PHA．又PH?平面PHA，CN⊥PH．因此∠PHA为二面角P-EC-A的平面角．在Rt△PHA中求出即可．

解答：（Ⅰ）证明：取PC中点M，连ME，MF．
∵FM∥CD，FM=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，
∴AE∥FM，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形．
∴AF∥EM．
∵AF?平面PCE，∴AF∥平面PCE．
（Ⅱ）解：延长DA，CE交于N．过A作AH⊥CN于H，连PH．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CN．∴CN⊥平面PHA．
又PH?平面PHA，∴CN⊥PH．
∴∠PHA为二面角P-EC-A的平面角．
∵AD=10，CD=15，∴CN=25，即EN=

25

2

．
又PA=6，∴AH=

AN•AE

EN

=

10× 15 2

25 2

=6．
∴tan∠PHA=

PH

AH

=

6

6

=1．
∴二面角P-EC-A的大小为

π

4

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理和平行四边形的性质、线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质定理、二面角的定义及其作法等是解题的关键．