Question

13．设数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-2
（1）设c_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{{a}_{n}}}$，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（2）设b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）c_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{4n}{{2}^{4n-2}}$=$\frac{n}{1{6}^{n-1}}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）c_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{4n}{{2}^{4n-2}}$=$\frac{n}{1{6}^{n-1}}$，
∴数列{c_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{1}+\frac{2}{16}+\frac{3}{1{6}^{2}}$+…+$\frac{n}{1{6}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{16}{S}_{n}$=$\frac{1}{16}+\frac{2}{1{6}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{1{6}^{n-1}}$+$\frac{n}{1{6}^{n}}$，
∴$\frac{15}{16}{S}_{n}$=1+$\frac{1}{16}+\frac{1}{1{6}^{2}}$+…+$\frac{1}{1{6}^{n-1}}$-$\frac{n}{1{6}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{1{6}^{n}}}{1-\frac{1}{16}}$-$\frac{n}{1{6}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{256}{225}$-$\frac{256+225n}{225•1{6}^{n}}$．
（2）b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∵使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立，
∴$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{m}{20}$，
∴m≥10，
因此使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m的值为10．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、“裂项求和”与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．