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    设某物体一天中的温度T是时间的函数：T（t）=at3+bt2+ct+d（a≠0），其中温度的单位是℃，时间单位是小时，t=0表示12：00，取正值表示12：00以后．若测得该物体在8：00的温度是8℃，12：00的温度为60℃，13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度在8：00和16：00有相同的变化率．
    （1）写出该物体的温度T关于时间的函数关系式；
    （2）该物体在10：00到14：00这段时间中（包括10：00和14：00），何时温度最高，并求出最高温度；
    （3）如果规定一个函数f（x）在区间[x1，x2]（x1＜x2）上的平均值为，求该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度．
    【答案】分析：（1）求导函数，利用该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率，建立方程，求得b的值，再利用该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃，建立方程组，即可确定函数的解析式；
    （2）确定函数在[-2，2]上的单调性，从而可得函数的极值与最值，即可求得结论．
    （3）求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和下限求解．
    解答：解：（1）求导函数可得T′=3at2+2bt+c
    ∵该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率
    ∴T′（-4）=T′（4），∴12a-8b+c=12a+8b+c，∴b=0
    ∵该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃
    ∵该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃
    ∴，
    ∴a=1，b=0，c=-3，d=60
    ∴T（t）=t3-3t2+60（-12≤t≤12）；
    （2）T′=3t2-3=3（t+1）（t-1），
    令T′＞0，可得t＜-1或t＞1；令T′＜0，可得-1＜t＜1
    ∴函数在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增
    ∵T（-2）=58，T（-1）=62，T（1）=58，T（2）=62
    ∴t=-1或t=2时，T（t）取到最大值62，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃；
    （3）由题意可得该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度为：
    ==14．
    所以该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度14℃．
    点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了导数知识的运用，考查了计算能力，训练了定积分的求解，属中档题．
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    （1）写出该物体的温度T关于时间的函数关系式；
    （2）该物体在10：00到14：00这段时间中（包括10：00和14：00），何时温度最高，并求出最高温度；
    （3）如果规定一个函数f（x）在区间[x1，x2]（x1＜x2）上的平均值为
    1
    x2-x1
    ∫
    x2
    x1
    f(x)dx    ，求该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知T（t）=at3+bt2+ct+d（a≠0），其中温度的单位是℃，时间的单位是小时，中午12：00相应的t=0，中午12：00以后相应的t取正数，中午12：00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4），若测得该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率．
    （1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
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