Question

【题目】已知数列{an}的首项a1= ，an+1= ，n=1，2，…
（1）求证：{ ﹣1}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（2）证明：对任意的x＞0，an≥ ﹣ （ ﹣x），n=1，2，…
（3）证明：n﹣ ≥a1+a2+…+an＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1= ，

∴ ，即 ，

又 ，

∴{ }是以 为首项， 为公比的等比数列．

∴ ，

∴ ；

（2）证明： =

= ；

（3）证明：由 ，

知 ，

当n=1时等号成立．

∴n﹣ ≥a1+a2+…+an；

由（2）知，对于任意x＞0，有

，

取 ，

则a1+a2+…+an≥ ．

故n﹣ ≥a1+a2+…+an＞ ．

【解析】（1）把原数列递推式取倒数，然后配方化为 ，得到数列∴{ }是以 为首项， 为公比的等比数列．则{an}的通项公式可求；（2）把{an}的通项公式代入后作差，整理后由差式大于等于0得答案；（3）不等式左边直接代入数列{an}的通项公式放缩得答案，借助于（2），分别取n=1，2，3，…，累加后取取 证得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等比数列的基本性质和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握{an}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．