Question

（2012•宿州一模）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一点E，使得DE∥平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）证明BC⊥平面PAB，只需要证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线即可；
（2）延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH，可证∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角，求出AH，即可得到面PCD与面PAB所成二面角的正切值；
（3）存在．在BC上取一点F，使BF=1，则DF∥AB，可得DE∥平面PAB．

解答：（1）证明：由题意，∵BC∥AD，∠DAB=90°，
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴BC⊥PA，又PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB；
（2）解：延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH
由（1）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ
∴AD⊥PQ且AH⊥PQ
所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．
所以∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角
∵PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1
∴AQ=

3

2

，PQ=

3 5

2

，
∴AH=

AQ•PA

PQ

=

3 5

5

∴tan∠AHD=

AD

AH

=

5

3

所以面PCD与面PAB所成二面角的正切值为

5

3

（3）解：存在．
在BC上取一点F，使BF=1，则DF∥AB．由条件知，PC=3

3

，在PC上取点E，使PE=

3

，则EF∥PB，
所以，平面EFD∥平面PAB，
因为DE?平面EFD，
所以DE∥平面PAB

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查存在性问题，解题的关键是掌握线面垂直的判定定理，正确作出面面角．