分析 (1)由条件利用余弦定理求得cosB≥$\frac{1}{2}$,可得B的范围.
(2)由a≤b≤c,得到$\sqrt{a}$≤$\sqrt{b}$≤$\sqrt{c}$,即$\sqrt{c}$所对的角最大,设为α,由余弦定理求得cosα>0,即α为锐角,可得以$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$为长的线段能构成锐角三角形.
(3)当0≤x≤1时,由a≤b≤c,可得ax ≤bx ≤cx,利用指数函数的单调性求得 ax+bx-cx≥cx•($\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1)>0,可得较小的两边之和大于较大的一边,故以ax、bx、cx为长的线段一定能构成三角形.
解答 解:(1)∵在△ABC中,b2=ac,
∴由余弦定理得:cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,
则B的范围为(0,60°].
(2)由a≤b≤c,得到$\sqrt{a}$≤$\sqrt{b}$≤$\sqrt{c}$,即$\sqrt{c}$所对的角最大,设为α,
由余弦定理得:cosα=$\frac{(\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2}-({\sqrt{c})}^{2}}{2\sqrt{ab}}$=$\frac{a+b-c}{2\sqrt{ab}}$,
∵a,b,c为△ABC的三边,∴a+b>c,即a+b-c>0,2$\sqrt{ab}$>0,
∴cosα>0,即α为锐角,
则以$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$为长的线段能构成锐角三角形.
(3)当0≤x≤1时,由a≤b≤c,可得ax ≤bx ≤cx,
∵ax+bx-cx=cx•[${(\frac{a}{c})}^{x}$+${(\frac{b}{c})}^{x}$-1]≥cx•($\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1)=cx•$\frac{a+b-c}{c}$>0,
故较小的两边之和大于较大的一边,故以ax、bx、cx为长的线段一定能构成三角形.
点评 本题主要考查余弦定理、基本不等式、指数函数的单调性,属于基础题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 60° | B. | 30° | C. | 150° | D. | 120° |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | log0.44<log0.46 | B. | 1.013.4>1.013.5 | C. | 3.50.3>3.40.3 | D. | log56<log67 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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