Question

1．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a≤b≤c，
（1）若b²=ac，求角B的取值范围；
（2）求证：以$\sqrt{a}，\sqrt{b}，\sqrt{c}$为长的线段能构成锐角三角形；
（3）当0≤x≤1时，以a^x、b^x、c^x为长的线段是否一定能构成三角形？写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦定理求得cosB≥$\frac{1}{2}$，可得B的范围．
（2）由a≤b≤c，得到$\sqrt{a}$≤$\sqrt{b}$≤$\sqrt{c}$，即$\sqrt{c}$所对的角最大，设为α，由余弦定理求得cosα＞0，即α为锐角，可得以$\sqrt{a}，\sqrt{b}，\sqrt{c}$为长的线段能构成锐角三角形．
（3）当0≤x≤1时，由a≤b≤c，可得a^x ≤b^x ≤c^x，利用指数函数的单调性求得 a^x+b^x-c^x≥c^x•（$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1）＞0，可得较小的两边之和大于较大的一边，故以a^x、b^x、c^x为长的线段一定能构成三角形．

解答 解：（1）∵在△ABC中，b²=ac，
∴由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
则B的范围为（0，60°]．
（2）由a≤b≤c，得到$\sqrt{a}$≤$\sqrt{b}$≤$\sqrt{c}$，即$\sqrt{c}$所对的角最大，设为α，
由余弦定理得：cosα=$\frac{（\sqrt{a}）^{2}+（\sqrt{b}）^{2}-（{\sqrt{c}）}^{2}}{2\sqrt{ab}}$=$\frac{a+b-c}{2\sqrt{ab}}$，
∵a，b，c为△ABC的三边，∴a+b＞c，即a+b-c＞0，2$\sqrt{ab}$＞0，
∴cosα＞0，即α为锐角，
则以$\sqrt{a}，\sqrt{b}，\sqrt{c}$为长的线段能构成锐角三角形．
（3）当0≤x≤1时，由a≤b≤c，可得a^x ≤b^x ≤c^x，
∵a^x+b^x-c^x=c^x•[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{b}{c}）}^{x}$-1]≥c^x•（$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1）=c^x•$\frac{a+b-c}{c}$＞0，
故较小的两边之和大于较大的一边，故以a^x、b^x、c^x为长的线段一定能构成三角形．

点评 本题主要考查余弦定理、基本不等式、指数函数的单调性，属于基础题．