Question

【题目】数列{an}是公差为正数的等差数列，a2和 a5是方程x2﹣12x+27=0 的两实数根，数列{bn}满足3n﹣1bn=nan+1﹣（n﹣1）an ．
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn ， 并求Tn＜7 时n的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵数列{an}是公差d为正数的等差数列，∴a2＜a5 ， 由x2﹣12x+27=0，解得a2=3，a5=9．
∴a1+d=3，a1+4d=9，解得a1=1，d=2．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
数列{bn}满足3n﹣1bn=nan+1﹣（n﹣1）an ，
∴3n﹣1bn=n（2n+1）﹣（n﹣1）（2n﹣1），
∴bn= ；
（Ⅱ）数列{bn}的前n项和Tn= +…+ ，
= ，
两式作差得： =3+4（ +…+ ） = = ．
∴ ；
由Tn＜7，得： ＜7，即3n﹣1＜4n+5．
解得：n≤3．
∴使Tn＜7 时n的最大值为3
【解析】（Ⅰ）求解方程得a2=3，a5=9，则a1+d=3，a1+4d=9，求出首项和公差可得他出事了的通项公式，再由数列{bn}满足3n﹣1bn=nan+1﹣（n﹣1）an ， 可得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn ， 求解不等式Tn＜7 可得n的最大值．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握前项和公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．