Question

2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，$\overrightarrow{x}$=（a+c，c-b），$\overrightarrow{y}$=（sinA，sinB+sinC），且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
（′1）求向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$的夹角θ；
（2）若a+c=2$\sqrt{3}$，求b取得最小值时，AC边上的高h．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0和正弦、余弦定理，求出角B的大小，即可得出向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$的夹角θ；
（2）根据余弦定理和基本不等式，求出b的最小值以及对应AC边上的高h．

解答 解：（1）△ABC中，$\overrightarrow{x}$=（a+c，c-b），$\overrightarrow{y}$=（sinA，sinB+sinC），且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
∴（a+c）sinA+（c-b）（sinB+sinC）=0，
由正弦定理得（a+c）a+（c-b）（b+c）=0，
∴a²+ac+c²-b²=0，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{2π}{3}$，
∴向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$的夹角θ=π-B=$\frac{π}{3}$；
（2）△ABC中，B=$\frac{2π}{3}$，a+c=2$\sqrt{3}$，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac≥2ac+ac=3ac，
当且仅当a=c=$\sqrt{3}$，∴b的最小值为3，
即b取得最小值3时，△ABC是腰长为$\sqrt{3}$、底边为3的等腰三角形，
所以AC边上的高h=$\sqrt{3}$×sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积以及正弦、余弦定理的应用问题，是基础题目．