Question

设数列的前项和为，已知(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：当x>0时，
（Ⅲ）令，数列的前项和为．利用（2）的结论证明：当n∈N*且n≥2时，.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）参考解析；（Ⅲ）参考解析

试题分析：（Ⅰ）由数列的求和与通项的等式，递推一个等式两式相减可得到一个的，的一个一节递推式（）.将等式的两边同除以，即可得到是一个等差数列，再通过求出的通项，即可得到的通项式.最后检验一下n=1时即可.
（Ⅱ）不等式的证明通过转化为两函数的值在大于零恒成立即可.通过求导可得导函数恒大于零.所以原函数在上递增.函数的最小值是大于零.
（Ⅲ）由（Ⅰ）得到的数列可得的通项.由于通项中存在的形式.所以奇偶项的符号不一样.通过整理转化为.结合（Ⅱ）得到的结论令.可得.这样就把分数和的形式改为对数的和的形式即可.
试题解析：（1）由，得（）         2分
两式相减，得，即（）
于是，所以数列是公差为1的等差数列    ..       .3分
又，所以.
所以，故.               .5分
（2）令，则，7分
∴在时单调递增，，即当时， .9分
（3）因为，则当n≥2时，

.                    11分
下面证
令，由（2）可得，所以
，， ，
以上个式相加，即有
∴              14分