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已知三点A(1,y1),B(2,y2),C(3,y3)不共线,其中yi∈{4,5,6,7,8,9}(i=1,2,3).若对于△ABC的内心I,存在实数λ,使得数学公式,则这样的三角形共有________个.

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分析:先判断出三角形ABC 中,BA=BC,利用两点距离公式得出|y2-y1|=|y3-y2|,由于A,B,C三点不共线,只能有y2-y1=-(y3-y2),即y3=y1≠y2.y2先从∈{4,5,6,7,8,9}中任取一个数,共有6中取法,y3,y1从剩余的五个数中相同的取一个,共有5中取法,共有6×5=30中取法,及共有30个三角形.
解答:如图.

设D为AC中点,根据向量加法的几何意义,,又,所以共线,
所以BD既为内角∠ABC的平分线,也为一条中线,所以BA=BC.
根据两点距离公式,得出|y2-y1|=|y3-y2|,
由于A,B,C三点不共线,所以y2-y1≠y3-y2
只能有y2-y1=-(y3-y2),即y3=y1≠y2
y2先从∈{4,5,6,7,8,9}中任取一个数,共有6中取法,y3,y1从剩余的五个数中相同的取一个,共有5中取法,
共有6×5=30中取法,及共有30个三角形.
故答案为:30.
点评:本题考查了向量加法的几何意义,三角形五心的有关性质,乘法计数原理.将三者巧妙的结合,是好题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知三点A(-1,0),B(1,0),C(-1,
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)
,曲线E过C点,且动点P在曲线E上运动,并保持|PA|+|PB|的值不变.
(I)求曲线E的方程;
(II)若C、M(x1,y1),N(x2,y2)是曲线E上的不同三点,直线CM、CN的倾斜角互补.问直线MN的斜率是否是定值?如果是,求出该定值,如果不是,说明理由.

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IA
+
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,则这样的三角形共有
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30
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