【题目】已知圆M:x2+(y﹣4)2=4,点P是直线l:x﹣2y=0上的一动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)当切线PA的长度为 时,求点P的坐标;
(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当P在直线l上运动时,圆N是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)求线段AB长度的最小值.
【答案】
(1)解:由题意知,圆M的半径r=2,M(0,4),设P(2b,b),
∵PA是圆M的一条切线,∴∠MAP=90°,
∴ ,解得 ,
∴P(0,0)或 .
(2)解:设P(2b,b),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,
其方程为 ,
即(2x+y﹣4)b﹣(x2+y2﹣4y)=0,
由 ,解得 或 ,
∴圆过定点(0,4), .
(3)解:因为圆N方程为 ,
即x2+y2﹣2bx﹣(b+4)y+4b=0,
圆M:x2+(y﹣4)2=4,即x2+y2﹣8y+12=0,
②﹣①得:圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为:2bx+(b﹣4)y+12﹣4b=0,
点M到直线AB的距离 ,
相交弦长即: ,
当 时,AB有最小值 .
【解析】(1)根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标(0,4),并可设P(2b,b),从而由条件便可求出|MP|= ,这样便可求出b的值,即得出点P的坐标;(2)容易求出圆N的圆心坐标(b, ),及半径,从而可得出圆N的标准方程,化简后可得到(2x+y﹣4)b﹣(x2+y2﹣4y)=0,从而可建立关于x,y的方程,解出x,y,便可得出圆N所过的定点坐标;(3)可写出圆N和圆M的一般方程,联立这两个一般方程即可求出相交弦AB的直线方程,进而求出圆心M到直线AB的距离,从而求出弦长 ,显然可看出b= 时,AB取最小值,并求出该最小值.
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【题目】高二年级有500名学生,为了了解数学学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
[85,95) | ① | 0.025 |
[95,105) | 0.050 | |
[105,115) | 0.200 | |
[115,125) | 12 | 0.300 |
[125,135) | 0.275 | |
[135,145) | 4 | ② |
[145,155] | 0.050 | |
合计 | ③ |
(1)根据图表,①②③处的数值分别为、、;
(2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图;
(3)根据题中信息估计总体落在[125,155]中的概率.
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【题目】设等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn , 若a1=1,a3=4.
(1)若Sk=63,求k的值;
(2)设bn=log2an , 证明数列{bn}是等差数列;
(3)设cn=(﹣1)nbn , 求T=|c1|+|c2|+|c3|+…+|cn|.
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【题目】已知, .
(1)求函数的增区间;
(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围,并说明理由;
(3)设正实数, 满足,当时,求证:对任意的两个正实数, 总有.
(参考求导公式: )
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【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e= ,左顶点为A(﹣4,0),过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D,交y轴于点E.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P为AD的中点,是否存在定点Q,对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ,若存在,求出点Q的坐标;若不存在说明理由;
(3)若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M,求 的最小值.
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【题目】为备战某次运动会,某市体育局组建了一个由4个男运动员和2个女运动员组成的6人代表队并进行备战训练.
(1)经过备战训练,从6人中随机选出2人进行成果检验,求选出的2人中至少有1个女运动员的概率;
(2)检验结束后,甲、乙两名运动员的成绩如下:
甲:70,68,74,71,72
乙:70,69,70,74,72
根据两组数据完成图示的茎叶图,并通过计算说明哪位运动员的成绩更稳定.
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