Question

（2012•山东）在等差数列{a_n}中，a₃+a₄+a₅=84，a₉=73．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（9^m，9^2m）内的项的个数记为b_m，求数列{b_m}的前m项和S_m．

Answer 1

分析：（I）由已知及等差数列的性质可求a₄，由d=

a9-a4

9-4

可求公差d，进而可求a₁，进而可求通项
（II）由9m＜an＜92m可得9^m+8＜9n＜9^2m+8，从而可得bm=92m-1-9m-1，由等比数列的求和公式可求

解答：解：（I）∵数列{a_n}是等差数列
∴a₃+a₄+a₅=3a₄=84，
∴a₄=28
设等差数列的公差为d
∵a₉=73
∴d=

a9-a4

9-4

=

73-28

5

=9
由a₄=a₁+3d可得28=a₁+27
∴a₁=1
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+9（n-1）=9n-8
（II）若9m＜an＜92m
则9^m+8＜9n＜9^2m+8
因此9^m-1+1≤n≤9^2m-1
故得bm=92m-1-9m-1
∴S_m=b₁+b₂+…+b_m
=（9+9³+9⁵+…+9^2m-1）-（1+9+…+9^m-1）
=

9(1-81m)

1-81

-

1-9m

1-9

=

92m+1-10×9m+1

80

点评：本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属于等差数列与等比数列基本运算的综合应用．