【题目】定义:若函数y=f(x)在某一区间D上任取两个实数x1、x2 , 且x1≠x2 , 都有 ,则称函数y=f(x)在区间D上具有性质L.
(1)写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数(不要求证明).
(2)对于函数 ,判断其在区间(0,+∞)上是否具有性质L?并用所给定义证明你的结论.
(3)若函数 在区间(0,1)上具有性质L,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解: (或其它底在(0,1)上的对数函数)
(2)解:函数 在区间(0,+∞)上具有性质L.
证明:任取x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2
则 = =
∵x1、x2∈(0,+∞)且x1≠x2,
∴(x1﹣x2)2>0,2x1x2(x1+x2)>0
即 >0,
∴
所以函数 在区间(0,+∞)上具有性质L
(3)解:任取x1、x2∈(0,1),且x1≠x2
则 = = =
∵x1、x2∈(0,1)且x1≠x2,
∴(x1﹣x2)2>0,4x1x2(x1+x2)>0
要使上式大于零,必须2﹣ax1x2(x1+x2)>0在x1、x2∈(0,1)上恒成立,
即 ,
∴a≤1,
即实数a的取值范围为(﹣∞,1]
【解析】(1)写出的函数是下凹的函数即可;(2)函数 在区间(0,+∞)上具有性质L.根据定义,任取x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2
只需要证明 >0即可;(3)任取x1、x2∈(0,1),且x1≠x2则 >0,只需要2﹣ax1x2(x1+x2)>0在x1、x2∈(0,1)上恒成立,即 ,故可求实数a的取值范围.
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【题目】如图,过椭圆: 的左右焦点分别作直线, 交椭圆于与,且.
(1)求证:当直线的斜率与直线的斜率都存在时, 为定值;
(2)求四边形面积的最大值.
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【题目】如图所示,正三角形ABC所在平面与梯形BCDE所在平面垂直,,=4 ,,F为棱AE的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)若直线与平面所成角为,求二面角的余弦值.
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【题目】某教师有相同的语文参考书3本,相同的数学参考书4本,从中取出4本赠送给4位学生,每位学生1本,则不同的赠送方法共有( )
A. 15种 B. 20种 C. 48种 D. 60种
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【题目】在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时,可按下述方法进行:
设实系数一元二次方程……①
在复数集内的根为, ,则方程①可变形为,
展开得.……②
比较①②可以得到:
类比上述方法,设实系数一元次方程(且)在复数集内的根为, ,…, ,则这个根的积 __________.
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【题目】某同学在研究函数f(x)= ﹣1(x∈R)时,得出了下面4个结论:①等式f(﹣x)=f(x)在x∈R时恒成立;②函数f(x)在x∈R上的值域为(﹣1,1];③曲线y=f(x)与g(x)=2x﹣2仅有一个公共点;④若f(x)= ﹣1在区间[a,b](a,b为整数)上的值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b)共有5对.其中正确结论的序号有(请将你认为正确的结论的序号都填上).
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【题目】已知△ABC的两顶点坐标A(﹣1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M.
(I)求曲线M的方程;
(Ⅱ)设直线BC与曲线M的另一交点为D,当点A在以线段CD为直径的圆上时,求直线BC的方程.
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