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已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3).
(I)若函数f(x)的图象过点(0,3),求f(x);
(Ⅱ)在(I)的条件下,对于任意x0∈[-6,6],求使f(x0)≥-2的概率;
(Ⅲ)当x∈[0,1]时,试讨论|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要条件.
分析:(I)有不等式f(x)>2x的解集为(-1,3)可知f(x)=2x的解为x=-1或x=3.将点(0,3)代入f(x)有a=-1,故f(x)=-x2+4x+3
(Ⅱ) 根据f(x0)≥-2求出x的取值范围.用基本事件的长度比上总时间的长度即可
(Ⅲ) 设 r(x)=f(x)+(2a-1)x+3a+1=ax2+x+1,r(0)=1.求出对称轴,再根据 题意求出a的取值范围即可.
解答:解:设f(x)-2x=a(x+1)(x-3)(a<0)
(I) 将点(0,3)代入f(x)有a=-1,故f(x)=-x2+4x+3-------------------(3分)
(Ⅱ)   由f(x0)≥-2解得:-1≤x≤5
记“使f(x0)≥-2”为事件A,则其概率为:P(A)=
5-(-1)
6-(-6)
=
1
2

则使f(x0)≥-2的概率为
1
2
.-------------(6分)
(Ⅲ)   设 r(x)=f(x)+(2a-1)x+3a+1=ax2+x+1,r(0)=1,对称轴为x=-
1
2a

由题意,得其充要条件是
-
1
2
≤a<0
r(1)=a+2≤3
⇒-
1
2
≤a<0
;-------------(9分)
a<-
1
2
 
 r(1)=a+2≥-3
=1-
1
4a
≤3
⇒-5≤a<-
1
2
------------(12分)
解得:-5≤a<0,
故使|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要条件是-5≤a<0------------(14分)
点评:本题考查概率的应用和性质,出题者巧妙地把函数和概率融合在一起,体会了出题者的智慧,解题时也要合理地运用函数的性质进行求解.
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