Question

8、若f（n）表示n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如：6²=36，36+1=37，3+7=10，则f（6）=10，记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…f_k+1（n）=f（f_k（n））（k∈N^*），则f₂₀₀₉（8）=

5

．

Answer 1

分析：通过观察前几个函数值的规律得，f_n（8）构成一个周期为3的周期性的数列，再利用数列的周期性即可解决问题．

解答：解：.8²=64，64+1=65，6+5=11，∴f₁（8）=f（8）=11；
11²=121，121+1=122，1+2+2=5，∴f₂（8）=5；
5²=25，25+1=26，2+6=8，∴f₃（8）=8；
8²=64，64+1=65，6+5=11，∴f₄（8）=11，
∴f_n（8）构成一个周期为3的周期性的数列，
∴f₂₀₀₉（8）=f_3×669+2（8）=f₂（8）=5．

点评：本题主要考查了归纳推理、函数的周期性，以及数列递推式，属于基础题．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．