Question

（2004•朝阳区一模）（Ⅰ）解关于x的不等式（lgx）²-lgx-2＞0；
（Ⅱ）若不等式（lgx）²-（2+m）lgx+m-1＞0对于|m|≤1恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）把lgx看作一个整体（未知数），此不等式是关于lgx的一元二次不等式，先解出lgx的取值范围，进而利用对数函数的单调性即可得出x的取值范围；
（II）设y=lgx，则原不等式可化为y²-（2+m）y+m-1＞0，y²-2y-my+m-1＞0．即（1-y）m+（y²-2y-1）＞0．当y=1时，不等式不成立．设f（m）=（1-y）m+（y²-2y-1），则f（x）是m的一次函数，利用一次函数的单调性即可解出．

解答：解：（Ⅰ）∵（lgx）²-lgx-2＞0，
∴（lgx+1）（lgx-2）＞0．
∴lgx＜-1或lgx＞2．
∴0＜x＜

1

10

或x＞102．
（Ⅱ）设y=lgx，则原不等式可化为y²-（2+m）y+m-1＞0，∴y²-2y-my+m-1＞0．
∴（1-y）m+（y²-2y-1）＞0．
当y=1时，不等式不成立．
设f（m）=（1-y）m+（y²-2y-1），则f（x）是m的一次函数，且一次函数为单调函数．
当-1≤m≤1时，若要f(m)＞0?

f(1)＞0 f(-1)＞0.

?

y2-2y-1+1-y＞0 y2-2y-1+y-1＞0.

?

y2-3y＞0 y2-y-2＞0.

?

y＜0或y＞3 y＜-1或y＞2.

则y＜-1或y＞3．
∴lgx＜-1或lgx＞3．
∴0＜x＜

1

10

或x＞10³．
∴x的取值范围是(0，

1

10

)∪(103，+∞)．

点评：熟练掌握换元法、等价转化法、一元二次不等式的解法、一次函数的单调性是解题的关键．