Question

14．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2）、B（-2，3）、C（-3，1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）若实数t满足（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）⊥$\overrightarrow{OC}$，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）由已知点的坐标求出$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$的坐标，由坐标加减法运算结合模的计算公式求解；
（2）求出$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OC}$的坐标，利用数量积的坐标运算求得实数t的值．

解答 解：（1）∵A（1，2）、B（-2，3）、C（-3，1），
∴$\overrightarrow{AB}=（-3，1），\overrightarrow{AC}=（-4，-1）$，
∴$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=（-7，0）$，$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=（1，2）$．
∴$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\sqrt{（-7）^{2}+{0}^{2}}=7$，$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$．
∴两条对角线的长分别为7，$\sqrt{5}$；
（2）$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$=（3t-3，1-t），$\overrightarrow{OC}$=（-3，1），
由（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{OC}$=-3（3t-3）+1-t=0，解得：t=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的坐标运算、三角形法则、模的计算公式，训练了由数量积为0判断两向量垂直的条件，是中档题．